| 10. Rechenwerk a) Grundlage b) Zunhemende Jahreslänge c) Relevanz der Ungenauigkeit im Jahreskalender d) Zusammenfassung e) Physische Realität a) Grundlage Zur Rechenkontrolle: Zur Abbildung ein Schaltzyklus, der wie der julianische Kalender ein Jahr von 365,25 Tagen abbilden will, nach 4 Jahren von 365 Tagen ein Schalttag eingeschoben werden (1 : 0,25 = 4). Zur Darstellung von 0,24219052 Tagen muss also alle 1: 0,24219052 = 4,128980771 Jahre geschaltet werden, wobei Basis ein Jahr von 365 Tagen ist. In Tagen: 4 x 365 Tage = 1460 Tage und 0,128980771 x 365 = 47,07798142 Tage, gerundet 47 Tage, zusammen 1460 + 47 = 1507, d. h. der 1508. Tag sollte der Schalttag sein. Es verbleibt ein Rest von 0,07798142 Tagen. 1507 : 365= 4,128767123 also 1: 4,128767123 = 0,242203052 Tagen, d. h. ein Jahr von 365,242203052 Tagen kann wiedergegeben werden. Fehlerhafte Abweichung: 365,24219052 - 365,242203052 = 0,000012532 Tage. 1 : 0,000012532 = 79795,72295. Nach über 79000 Jahren müsste danach also ein weiterer Schalttag ausfallen… Abstrakt lässt sich die Rechnung so ausdrücken. T = Volle Tage des Jahres = 365 N = Nachkommastellen des Jahres = 0,24219052 S = Schaltzeitraum in Tagen S= (1: N) x T also (1: 0,24219052) x 365 = 1507,077981 b) Zunehmende Jahreslänge Dabei ist jedoch Folgendes nicht berücksichtigt: Die Jahreslänge nimmt um ca. 0,5 sec. alle 100 Jahre ab. D. h. es müsste eine Berücksichtigung im Schaltkalender stattfinden. Der Schaltkalender muss selbst einer Schaltung unterzogen werden. Der Tag hat 60 x 60 x 24 sec. = 86400 sec. Also sind 0,5 : (86400 : 100) = 0,0000005787037037037037037037037037037… Tage. Das Jahr wird länger, es entfernt sich also von dem Standartwert von 365 Tagen, so dass häufiger geschaltet w den muss und der Schaltzeitraum kürzer werden muss. Wann müsste also nach 1506 Tagen am 1507. Tag geschaltet werden? Durch die Schaltung nach 1506 Tagen wird folgendes Jahr abgebildet: 1506 : 365 = 4,1260273972602739726027397260274 1 : 4,1260273972602739726027397260274 = 0,24236387782204515272244355909697, d. h. bei Schaltung nach 1506 Tagen (also am 1507. Tage) würde ein Jahr von ca. 365,24236387… Tagen abgebildet werden. 365,24236387782204515272244355909697 - 365,24220305242203052422030524220306= 0,0001608254000146285021383168 Eine Verschiebung um einen Tag im Schaltkalender müsste also spätestens erfolgen, wenn sich das Jahr um 0,0001608254000146285021383168 Tage verlängert hat. 0,00000057870370… Tage beträgt die Verlängerung des Jahres in 100 Jahren. 0,0001608254000146285021383168: 0,0000005787037037037037037037037037037 = 277,90629122527805169501176833405 Bei späteren Schaltverkürzungen würde sich aufgrund anderer Bruchteile auch ein anderer Zeitraum abbilden. Abstrahieren lässt sich dies folgendermaßen: S = Schaltzeitraum des Schaltkalenders in Tagen U = Umstellung des Schaltkalenders nach Jahren b = regelmäßige Verlängerung des Jahres in 100 Jahren in Tagen d = Anzahl der Tage des Sonnenjahres ohne Nachkommastellen U= 100 x [1: ((S-2) : d) - 1 : ((S-1):d)]: b = 100 x [(365:(S-2)) - 365: (S-1)] : 0,00000057870370 = 172800000 x [(365:(S-2)) - 365: (S-1)] (Anmerkung: Sollte sich nach wissenschaftlichem Erkenntnisstand eine andere Verlängerung b des Sonnenjahres auf 100 Jahre ergeben oder aufgrund weiterer Ereignisse Unregelmäßigkeiten auftreten, müsste dies entsprechend korrigiert werden.) Wenn die Jahresverlängerung um 0,5 sec. ca. 278 mal eingetreten ist, wäre also spätestens ein weiterer voller Schalttag im Schaltkalender erforderlich. Grundsätzlich müsste in etwa der Schaltkalender nach 277,90629122527805169501176833405 x 100 Jahren = 27790,629122… Jahren um einen Tag verkürzt werden, um der größeren Jahreslänge Rechnung zu tragen. Es fragt sich aber auch, wo die Umstellung erfolgen sollte. Schalten wir nämlich so, dass danach sogleich die optimale Deckung der Jahreslänge von Schaltkalender und Sonnenkalender vorliegt, so würden wir zuvor unnötig große Abweichungen im Jahreskalender in Kauf nehmen. Um zu wissen, wann eine Schaltungsänderung sinnvoll ist, muss man wissen, wo wir uns im Zyklus der gegenwärtigen Schaltung befinden: Eine Schaltungsänderung setzt im Idealfall ein, wenn sich die Jahreslänge überwiegend in Richtung der kürzeren Tagesanzahl im Schaltkalender bewegt. Die gegenwärtig errechnete Schaltung am 1508. Tag bildet ein Jahr ab von 365,24220305242203052422030524220305 Tagen, während das Sonnenjahr im Jahr 2000 eine Anzahl von 365,24219052 Tagen besaß. Das zugrundegelegte Jahr ist also zu lang, d. h. die Schaltung erfolgt zu schnell, die Schaltung erfolgt pro Jahr um 0,0000125324220305242203052422 Tage zu früh. Wann wird das Jahr durch die Schaltung am 1508. Tag korrekt abgebildet? 0,0000125324220305242203052422 : 0,0000005787037037037037037037037037037 = 21,656025268745852687458547933727 Da die Jahre immer länger werden, wird der Schaltkalender ein korrektes Jahr erst in 21,656025268745852687458547933727 x 100 Jahren = 2165,6560252687… Jahre nach dem greg. Jahr 2000 abbilden, d. h. dann hat der Schaltkalender in der gegenwärtigen Form seinen idealen Höhepunkt erreicht, die Länge des Sonnenjahres und des vom Schaltkalender abgebildeten Jahres decken sich. Nehmen wir an, dass wir auf die Schaltung zum 1507. Tag umschalten, wenn sich die Jahreslänge überwiegend in diese Richtung bewegt, so wäre dies nach weiteren 27790,629122527805169501176833405 : 2 = 13895,314650193916345991644251242 Jahren der Fall, zzgl. der genannten 2165,602526874585268745854793372 Jahre müsste die Umstellung also stattfinden 16060,917177068501614737499044612 Jahre nach dem 01.01.2000. In Tagen 16060,917177068501614737499044612 x 365,24219052 = 5866124,5715127942418608812658398 01.01.2000 bis zum Beginn der Zeitrechnung am 04.04.2013 (greg.) (Schaltjahre 2000, 2004, 2008, 2012) 366 x 4 + 9 x 365 + 93 = 4842 5866124,5715127942418608812658398 - 4842 = 5861282,571512794241860881265839 Am Ende des folgenden Jads ist zu verkürzen: 5861282,571512794241860881265839 : 1508 = 3886,7921561755929985814862505564 Es entfallen folgende Daten und fortan das gleiche Datum im 4. Jad, so dass sich das Schaltum bei jedem Wegfall dauerhaft um einen Tag verkürtzt: le4ul kewio jepoj hekaf ge17f0 fe1tjr de1f27 se236o ae2qqo pe2ou9 oe2jdi ie371t ue3t93 ze3du8 te42h4 re4q6i ee4oza (Die letzte hier genannte 17. Verkürzung des Schaltums auf 1491 Tage nach 465784 Jahren sollte ansich nicht mehr stattfinden, sondern es sollte die Umstellung auf den 366- Tagekalender erfolgen, s. u.). c) Relevanz der Ungenauigkeit im Jahreskalender Bis zur Umschaltung hatte sich das Jahr aber bereits 138,95314650193916345991644251242 mal 0,5 sec. verlängert und es war jeweils leicht zu langsam geschaltet worden. Die zunächst geringfügige Ungenauigkeit durch die Jahresverlängerung war immer weiter angewachsen auf folgenden Wert: Maximum 138,95314650193916345991644251242 x 0,0000005787037037037037037037037037037 = 0,0000080412700521955534409673769412832 Wie hoch ist bis dahin (bis zur Schaltung des Schaltkalenders) also der Fehler im Jahreskalender? Die Ungenauigkeit vor dem Idealzeitpunkt nach 2165,602526874585268745854793372 Jahren gleicht die Ungenaugigkeit danach aus. 2165,602526874585268745854793372 x 2 = rund 4331,2 können also zunächst vernachlässigt werden. Relevant sind die letzten 13895,31465019391634599164425124 - 2165,602526874585268745854793372 = 11729,712123319331077245789457868 Jahre vor der Umstellung. Relevantes Minimum: 2165,602526874585268745854793372 : 100 x 0,0000005787037037037037037037037037037 = 0,0000012532422030524220305242199999996 Relevanter Durchschnitt 0,0000080412700521955534409673769412832 + 0,0000012532422030524220305242199999996 : 2 = 0,0000046472561276239877357457975 Durchschnittliche Fehlgängigkeit pro Jahr im relevanten Zeitraum: 11729,712123319331077245789457868 : 100 x 0,0000046472561276239877357457975 = 0,000054510976540361137435052059536033 Ein Tag Fehlgängigkeit des Jahreskalenders tritt also ein nach 1 : 0,000054510976540361137435052059536033 = 18344,929103582978287207917542244 Jahren. Aufgelaufen sind bei Umstellung also 11729,712123319331077245789457868 : 18344,929103582978287207917542244 = 0,63939806237944968143035274094589 Tage, also etwas mehr als ein halber Tag. Vor Erreichen des Idealzeitpunktes ist das zugrundegelegte Jahr zu lang, d. h. es wird zu schnell geschaltet, danach zu langsam. Der hier genannte Auflauf erfolgte in der zweiten Phase, also als zu langesam geschaltet wurde. Der aufgelaufene Anteil kann also nur ausgeglichen werden durch zusätzlichen Tag im Schaltkalender, nicht durch Ausfall eines Schalttages. Sinnvollerweise wird aber auch eine Fehlgängigkeit nicht erst ausgeglichen, wenn ein voller Tag Fehlgängigkeit vorliegt, sondern wenn eine überwiegende Fehlgängigkeit vorliegt, also < 0,5 Tage. Die Fehlgängigkeit im relevanten Zeitraum sieht so aus, dass das tatsächliche Jahr länger ist als das durch den Schaltkalender abgebildete Jahr, es müsste also ansich schneller geschaltet werden. Es wäre daher möglicherweise bei Umstellung des Schaltkalenders auf 1507 Tage auch ein zusätzlicher Schalttag im Jahreskalender einzufügen. Bei der Umstellung wird aber nicht in einen Idealzeitpunkt hineingeschaltet, sondern eben absichtlich zu früh, d. h. zunächst ist das vom Schaltkalender abgebildete Jahr länger als das reale Jahr, es wird also zu schnell geschaltet: Ansich müsste dann irgendwann ein Schalttag im Sonnenkalender ausfallen. Wie geht es danach also weiter? Die Laufzeit der nach Verkürzung des Schaltkalenders in Kraft tretenden Schaltumslänge von 1507 Tagen beträgt U (Jahre) = 172800000 x [(365:(S-1)) - 365: (S)] U= 172800000 x [(365:(1505)) - 365: (1506)]= 27827,560191 Der nächste Idealzeitpunkt tritt etwa nach der halben Zeit ein, also 27827,560191 : 2 = 13913,780095564585511773504072377 Abstrakt: Korrekturerforderlichkeit der Ungenauigkeit im Jahreskalender bei Ungenauigkeit von einem Tag nach J Jahren, also die Ungenauigkeit, die von der Schaltkalenderumstellung zum Idealzeitpunkt aufläuft: J= 1: [[365:(S-1) - 365:S] : 2]= 2: [365:(S-1) - 365:S] J = 2: [365:(S-1) - 365:S] = 2: [365:1506 - 365:1507] = 12435,846 Jahre. Vor Erreichen des Idealzeitpunktes ist das zugrundegelegte Jahr zu lang, d. h. es wird zu schnell geschaltet, es müsste also ein Schalttag ausfallen. Zu dem Zeitpunkt ist aber noch einmal der aufgelaufene Anteil von 0,63939806237944968143035274094589 gegenzurechnen, d. h. nach 12435,846 liegt eine Fehlgängigkeit von 1 - 0,63939806237944968143035274094589 = 0,360601937620550318569647259055 Tagen vor. Bis zum Idealzeitpunkt nach 13913,780095564585511773504072377 Jahren nach Umschaltung vergehen noch 13913,78009 - 12435,846 = 1477,93409 Jahre. Diese liegen aber am nähesten zum Idealzeitpunkt, so dass die hier auflaufende Ungenauigkeit deutlich niedriger ausfällt. Fazit: Die richtige Positionierung der Verkürzung des Schaltkalenders führt dazu, dass ca. 1/2 Tag Ungenaugigkeit aufläuft, diese sich aber wieder abbaut, aufläuft und wieder abbaut u. s. w. Eine gesonderte Schaltung dieser Schwankung ist daher entbehrlich. d) Zusammenfassung Durch die stetige Verlängerung des Sonnenjahres muss der Schaltkalender wiederum geschaltet werden. Dies lässt sich durch die folgenden Formeln wiedergeben: I. Schaltung des Schaltkalenders U = Verkürzung des Schaltkalenders um einen Tag nach Jahren S = Länge des aktuellen Schaltums in Tagen U = 172800000 x [ 365: (S-1) - 365: S] II. Entbehrliche Korrektur des Sonnenkalenders J = Einfügung eines Schalttages nach Jahren S = Länge des aktuellen Schaltums in Tagen J= 2: [365:(S-1) - 365:S] e) Physische Realität Auch diese Daten verändern sich natürlich leicht bei der Einfügung weiterer Tage in den Schaltkalender wegen anderer Bruchteile (s. o.). Die mathematische Genauigkeit sollte der physikalischen Genauigkeit folgen: Es fragt sich, ob die Messung der Jahresverlängerung um 0,5 sec. alle 100 Jahre wirklich so genau ist. Selbst wenn das der Fall wäre, so könnten gelegentliche Messungen ohnehin erforderlich sein, weil sich die Jahresdauer auch durch andere Umstände verändern kann, z. B. durch Meteoriteneinschläge oder durch Wasserstoffbomben, ja selbst durch die Tektonik. Unweigerlich denkt man an Stonehenge oder die astronomischen Vorkehrungen an den Externsteinen, welche dauerhafte Messinstrumente darstellen. Die parktische Messung muss immer Vorrang haben vor der Schönheit des mathematischen Systems oder der Pfadabhängigkeit von einem Kalendersystem. Die Anpassung des Schaltkalenders erfolgt dann wieder nach folgendem Schema, (s. o.) T = Volle Tage des Jahres N = Nachkommastellen des Jahres S = Schaltzeitraum in Tagen S= (1: N) x T also (1: 0,24219052) x 365 = 1507,077981 Nachdem die Jahreslänge 365,5 Tage überschritten hat - nach gegenwärtiger Erwartung ca. nach 445494 Jahren nach dem Jahr 2000 greg., sollte eine Umstellung auf den 366-Tage-Jahreskalender erfolgen und die Schaltung umgekehrt stattfinden, d. h. es werden keine Schalttage eingefügt, sondern ausgelassen. Die oben angeführte 17. Verkürzung des Schaltumskalenders nach 465784 Jahren sollte also gar nicht mehr stattfinden. Auch bei Einführung des Julianischen Kalenders nahm man keineswegs an, dass dieser nun 1500 Jahre laufen müsste, sondern man ging von einer gelegentlichen Korrektur durch zwischenzeitliche Messungen aus. Dort wäre nach 128 Jahren eine Korrektur erforderlich gewesen, die jedoch unterblieb, wohl auch aufgrund typischer Pfadabhängigkeit. |
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